Точные решения > Системы уравнений c частными производными > Нелинейные системы двух дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа

PDF версия этой стр.

3. Нелинейные системы двух уравнений эллиптического типа

3.1. Уравнения диффузии реагирующих систем u_xx + u_yy = F(u, w),   w_xx + w_yy = G(u, w)

Предварительные замечания. Подобные системы часто встречаются в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии.

Системы этого вида инвариантны относительно сдвигов по независимым переменным (и относительно замен x на −x и y на −y) и имеют решения типа бегущей волны u = u(αx + βy), w = w(αx + βy). Такие решения, а также вырожденные решения, когда одна из искомых функций является нулем (или константой), здесь не рассматриваются.

Функции f(φ), g(φ), h(φ), которые далее фигурируют в уравнениях, являются произвольными функциями соответствующего аргумента φ = φ(u, w); уравнения расположены по мере усложнения этого аргумента.

1. u_xx + u_yy = uf(au − bw) + g(au − bw),   w_xx + w_yy = wf(au − bw) + h(au − bw).
2. u_xx + u_yy = e^λuf(λu − σw),   w_xx + w_yy = e^σwg(λu − σw).
3. u_xx + u_yy = uf(u/w),   w_xx + w_yy = wg(u/w).
4. u_xx + u_yy = uf(u/w) + u/w h(u/w),   w_xx + w_yy = wg(u/w) + h(u/w).
5. u_xx + u_yy = uⁿf(u/w),   w_xx + w_yy = wⁿg(u/w).
6. u_xx + u_yy = uf(uⁿw^m),   w_xx + w_yy = wg(uⁿw^m).
7. u_xx + u_yy = uf(u² + w²) − wg(u² + w²),   w_xx + w_yy = wf(u² + w²) + ug(u² + w²).
8. u_xx + u_yy = uf(u² − w²) + wg(u² − w²),   w_xx + w_yy = wf(u² − w²) + ug(u² − w²).

3.2. Другие системы

9. axu_x + ayu_y = u_xx + u_yy − f(u, w),   axw_x + ayw_y = w_xx + w_yy − g(u, w).