EqWorld

МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Точные решения Методы решения Библиотека Мат. форумы

Точные решения математических уравнений

• Введение
• Алгебраические уравнения и системы уравнений
• Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
• Уравнения в частных производных первого порядка
• Линейные уравнения в частных производных (линейные уравнения математической физики)
• Нелинейные уравнения в частных производных (нелинейные уравнения математической физики)
• Системы уравнений в частных производных
• Нелинейные уравнения в частных производных с запаздывающим аргументом
• Интегральные уравнения
• Функциональные уравнения
• Указатель уравнений
• Основные справочники
• Интересные статьи

Введение

Точные решения математических уравнений играют важную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют понять механизмы таких сложных эффектов, как пространственная локализация процессов переноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях, существование режимов с обострением и др. Простые решения широко используются для иллюстрации теоретического материала и некоторых приложений в учебных курсах университетов и технических вузов (по теории тепло- и массопереноса, гидродинамике, газовой динамике, теории волн, нелинейной оптике и др.).

Даже те точные решения, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве основы для «тестовых» задач при проверке корректности и оценки точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Точные решения необходимы также для разработки и совершенствования соответствующих разделов компьютерных программ, предназначенных для аналитических вычислений (системы MATHEMATICA, MAPLE, CONVODE и другие).

Важно отметить, что многие уравнения физики, химии и биологии содержат эмпирические параметры или эмпирические функции. Точные решения позволяют планировать эксперимент для определения этих параметров или функций путем искусственного создания подходящих (начальных и граничных) условий.