EqWorld logo

EqWorld

Мир математических уравнений

 IPM Logo

Домашняя стр. Точные решения Методы Программы Образование Матем. форумы

Точные решения > Системы уравнений c частными производными > Нелинейные системы двух дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа

PDF версия этой стр.

2. Нелинейные системы двух уравнений параболического типа

2.1. Уравнения диффузии реагирующих систем ut = auxx + F(u, w),   wt = bwxx + G(u, w)

Предварительные замечания. Подобные системы часто встречаются в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии.

Системы этого вида инвариантны относительно сдвигов по независимым переменным (и относительно замены x на −x) и имеют решения типа бегущей волны u = u(kx − λt), w = w(kx − λt). Такие решения, а также вырожденные решения, когда одна из искомых функций является нулем (или константой), здесь не рассматриваются.

Функции f(φ), g(φ), h(φ), которые далее фигурируют в уравнениях, являются произвольными функциями соответствующего аргумента φ = φ(u, w); уравнения расположены по мере усложнения этого аргумента.

  1. ut = auxx + u exp(kw/u)f(u),   wt = awxx + exp(kw/u)[wf(u) + g(u)].
  2. ut = auxx + uf(bu − cw) + g(bu − cw),   wt = awxx + wf(bu − cw) + h(bu − cw).
  3. ut = auxx + eλuf(λu − σw),   wt = bwxx + eσwg(λu − σw).
  4. ut = auxx + uf(u/w),   wt = awxx + wg(u/w).
  5. ut = auxx + uf(u/w),   wt = bwxx + wg(u/w).
  6. ut = auxx + uf(u/w) + g(u/w),   wt = awxx + wf(u/w) + h(u/w).
  7. ut = auxx + uf(u/w) + u/w h(u/w),   wt = awxx + wg(u/w) + h(u/w).
  8. ut = auxx + u3f(u/w),   wt = awxx + u3g(u/w).
  9. ut = uxx + au − u3f(u/w),   wt = wxx + aw − u3g(u/w).
  10. ut = auxx + unf(u/w),   wt = bwxx + wng(u/w).
  11. ut = auxx + uf(u/w) ln u + ug(u/w),   wt = awxx + wf(u/w) ln w + wh(u/w).
  12. ut = auxx + uf(w/u) − wg(w/u) + u(u2 + w2)−1/2h(w/u),
    wt = awxx + wf(w/u) + ug(w/u) + w(u2 + w2)−1/2h(w/u).
  13. ut = auxx + uf(w/u) + wg(w/u) + u(u2 − w2)−1/2h(w/u),
    wt = awxx + wf(w/u) + ug(w/u) + w(u2 − w2)−1/2h(w/u).
  14. ut = auxx + uf(unwm),   wt = bwxx + wg(unwm).
  15. ut = auxx + u1 + knf(unwm),   wt = bwxx + w1 − kmg(unwm).
  16. ut = auxx + cu ln u + uf(unwm),   wt = bwxx + cw ln w + wg(unwm).
  17. ut = auxx + uf(u2 + w2) − wg(u2 + w2),   wt = awxx + wf(u2 + w2) + ug(u2 + w2).
  18. ut = auxx + uf(u2 − w2) + wg(u2 − w2),   wt = awxx + wf(u2 − w2) + ug(u2 − w2).
  19. ut = auxx + uf(u2 + w2) − wg(u2 + w2) − w arctan(w/u)h(u2 + w2),
    wt = awxx + wf(u2 + w2) + ug(u2 + w2) + u arctan(w/u)h(u2 + w2).
  20. ut = auxx + uf(u2 − w2) + wg(u2 − w2) + w artanh(w/u)h(u2 − w2),
    wt = awxx + wf(u2 − w2) + ug(u2 − w2) + u artanh(w/u)h(u2 − w2).
  21. ut = auxx + uk + 1f(φ),   wt = awxx + uk + 1[f(φ) ln u + g(φ)],   φ = u exp(−w/u).
  22. ut = auxx + uf(u2 + w2) − wg(w/u),   wt = awxx + ug(w/u) + wf(u2 + w2).
  23. ut = auxx + uf(u2 − w2) + wg(w/u),   wt = awxx + ug(w/u) + wf(u2 − w2).
  24. ut = auxx + uf(u2 + w2, w/u) − wg(w/u),   wt = awxx + wf(u2 + w2, w/u) + ug(w/u).
  25. ut = auxx + uf(u2 − w2, w/u) + wg(w/u),   wt = awxx + wf(u2 − w2, w/u) + ug(w/u).
  26. ut = auxx + F(u, w),   wt = awxx + bF(u, w).
  27. ut = auxx + uf(bu − cw) + g(bu − cw) + cΦ(u, w),   wt = awxx + wf(bu − cw) + h(bu − cw) + bΦ(u, w).

2.2. Уравнения диффузии реагирующих систем ut = ax− n(xnux)x + F(u, w),   wt = bx− n(xnwx)x + G(u, w)

Предварительные замечания. Подобные системы часто встречаются в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. Значения n = 1 и n = 2 соответствуют задачам с осевой и центральной симметрией.

Функции f(φ), g(φ), h(φ), которые далее фигурируют в уравнениях, являются произвольными функциями соответствующего аргумента φ = φ(u, w); уравнения расположены по мере усложнения этого аргумента.

  1. ut = ax−n(xnux)x + uf(bu − cw) + g(bu − cw),   wt = ax−n(xnwx)x + wf(bu − cw) + h(bu − cw).
  2. ut = ax−n(xnux)x + eλuf(λu − σw),   wt = bx−n(xnwx)x + eσwg(λu − σw).
  3. ut = ax−n(xnux)x + uf(u/w),   wt = ax−n(xnwx)x + wg(u/w).
  4. ut = ax−n(xnux)x + uf(u/w),   wt = bx−n(xnwx)x + wg(u/w).
  5. ut = ax−n(xnux)x + uf(u/w) + u/w h(u/w),   wt = ax−n(xnwx)x + wg(u/w) + h(u/w).
  6. ut = ax−n(xnux)x + ukf(u/w),   wt = bx−n(xnwx)x + wkg(u/w).
  7. ut = ax−n(xnux)x + uf(u/w) ln u + ug(u/w),   wt = ax−n(xnwx)x + wf(u/w) ln w + wh(u/w).
  8. ut = ax−n(xnux)x + uf(x, ukwm),   wt = bx−n(xnwx)x + wg(x, ukwm).
  9. ut = ax−n(xnux)x + u1 + knf(unwm),   wt = bx−n(xnwx)x + w1 − kmg(unwm).
  10. ut = ax−n(xnux)x + cu ln u + uf(x, ukwm),   wt = bx−n(xnwx)x + cw ln w + wg(x, ukwm).
  11. ut = ax−n(xnux)x + uf(u2 + w2) − wg(u2 + w2),   wt = ax−n(xnwx)x + wf(u2 + w2) + ug(u2 + w2).
  12. ut = ax−n(xnux)x + uf(u2 − w2) + wg(u2 − w2),   wt = ax−n(xnwx)x + wf(u2 − w2) + ug(u2 − w2).
  13. ut = ax−n(xnux)x + uf(u2 + w2) − wg(w/u),   wt = ax−n(xnwx)x + wf(u2 + w2) + ug(w/u).
  14. ut = ax−n(xnux)x + uf(u2 − w2) + wg(w/u),   wt = ax−n(xnwx)x + wf(u2 − w2) + ug(w/u).

2.3. Другие системы

  1. ut = [f(t, u/w)ux]x + ug(t, u/w),   wt = [f(t, u/w)wx]x + wh(t, u/w).

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.

Copyright © 2004-2017 А. Д. Полянин